零點(diǎn)定理、最值定理、介值定理、費(fèi)馬定理、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、積分中值定理。

舉例介紹：

1、零點(diǎn)定理

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與 f(b)異號(hào)（即f(a)× f(b)<0），那么在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。（至少存在一個(gè)點(diǎn)，其值是0）

2、最值定理

若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f在[a,b]上有最大值與最小值。

3、介值定理

因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，所以在[a,b]上存在最大值M，最小值N；即對(duì)于一切x∈[a,b],有N<=f(x)<=M。

因此有N<=f(x1)<=M；N<=f(x2)<=M；...N<=f(xn)<=M；上式相加，得nN<=f(x1)+f(x2)+...+f(xn)<=nM。

于是N<=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n<=M，所以在(x1,xn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f(c)=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n。

4、費(fèi)馬定理

函數(shù)f(x)在點(diǎn)ξ的某鄰域U（ξ)內(nèi)有定義，并且在ξ處可導(dǎo)，如果對(duì)于任意的x∈U（ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'（ξ）=0。

5、羅爾定理

如果函數(shù)f(x)滿足以下條件：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

（3）f(a)=f(b)；

則至少存在一個(gè)ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。

6、拉格朗日中值定理

如果函數(shù)f(x)在(a，b)上可導(dǎo)，[a,b]上連續(xù)，則必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，f(x)在(a，b)上可導(dǎo)，[a,b]上連續(xù)是拉格朗日中值定理成立的充分條件。

7、柯西中值定理

如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足：

（1）在閉區(qū)間【a，b】上連續(xù)；

（2）在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；

（3）對(duì)任一x∈(a，b)，F(xiàn)'(x)≠0，

那么在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ζ，使等式【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

8、積分中值定理

若函數(shù) f(x) 在 閉區(qū)間 [a, b]上連續(xù),，則在積分區(qū)間 [a, b]上至少存在一個(gè)點(diǎn) ξ，使下式成立

∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b)。