所謂不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制（如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等）的方程或方程組。

不定方程(indeterminate equation)是數(shù)論的一個分支，它有著悠久的歷史與豐富的內(nèi)容。所謂不定方程是指解的范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)的方程或方程組，其未知數(shù)的個數(shù)通常多于方程的個數(shù)。

古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖于三世紀(jì)初就研究過若干這類方程，所以不定方程又稱丟番圖方程，是數(shù)論的重要分支學(xué)科，也是歷史上最活躍的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一。不定方程的內(nèi)容十分豐富，與代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、集合數(shù)論等等都有較為密切的聯(lián)系。1969年，莫德爾較系統(tǒng)地總結(jié)了這方面的研究成果。

一次不定方程：

二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c。其中 a，b，c 是整數(shù)，ab ≠ 0。此方程有整數(shù)解的充分必要條件是a、b的最大公約數(shù)整除c。

多元一次：

關(guān)于整數(shù)多元一次不定方程，可以有矩陣解法、程序設(shè)計等相關(guān)方法輔助求解。

二元二次：

二元二次不定方程本質(zhì)上可以歸結(jié)為求二次曲線（即圓錐曲線）的有理點或整點問題。

高次：

對高于二次的不定方程，相當(dāng)復(fù)雜。當(dāng)n>2時，x^n+y^n=z^n沒有非平凡的整數(shù)解 ，即著名的費馬大定理，歷經(jīng)3個世紀(jì) ，已由英國數(shù)學(xué)家安德魯 ·維爾斯證明完全可以成立。

多元高次不定方程

多元高次不定方程沒有一般的解法，任何一種解法都只能解決一些特殊的不定方程，如利用二次

域來討論一些特殊的不定方程的整數(shù)解．常用的解法

⑴代數(shù)恒等變形：如因式分解、配方、換元等；

⑵不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變量的范圍，進而求解；

⑶同余法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變量的范圍或性質(zhì)，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解；

⑷構(gòu)造法：構(gòu)造出符合要求的特解，或構(gòu)造一個求解的遞推式，證明方程有無窮多解；

⑸無窮遞推法。