弦長(zhǎng)公式

弦長(zhǎng)公式，在這里指直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交所得弦長(zhǎng)d的公式。

公式一

d = √(1+k2)|x1-x2| = √(1+k2)[(x1+x2)2 - 4x1x2] = √(1+1/k2)|y1-y2| = √(1+1/k2)[(y1+y2)2 - 4y1y2]

關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交求弦長(zhǎng)，通用方法是將直線(xiàn)y=kx+b代入曲線(xiàn)方程，化為關(guān)于x(或關(guān)于y)的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式√(1+k2)[(x1+x2)2 - 4x1x2]求出弦長(zhǎng)，這種整體代換，設(shè)而不求的思想方法對(duì)于求直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交弦長(zhǎng)是十分有效的，然而對(duì)于過(guò)焦點(diǎn)的圓錐曲線(xiàn)弦長(zhǎng)求解利用這種方法相比較而言有點(diǎn)繁瑣，利用圓錐曲線(xiàn)定義及有關(guān)定理導(dǎo)出各種曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式就更為簡(jiǎn)捷。

公式二

d =√[(1+k2)△/a2] =√(1+k2)√(△)/|a|

在知道圓和直線(xiàn)方程求弦長(zhǎng)時(shí)，可利用方法二，將直線(xiàn)方程代入圓方程，消去一未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，其中△為一元二次方程中的 b2-4ac ，a為二次項(xiàng)系數(shù)。

補(bǔ)遺：公式2符合橢圓等圓錐曲線(xiàn) 不光是圓。公式/|a|是在整個(gè)平方根運(yùn)算后再進(jìn)行的……（平方了再除）

2式可以由1推出，很簡(jiǎn)單，由韋達(dá)定理，x1+x2=-b/a x1x2=c/a 帶入再通分即可……

在知道圓和直線(xiàn)方程求弦長(zhǎng)時(shí)也可以用勾股定理（點(diǎn)到直線(xiàn)距離、半徑、半弦）。