韓信點兵

漢高祖劉邦曾問大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信斜了劉邦一眼說：“你頂多能帶十萬兵吧！”漢高祖心中有三分不悅，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韓信傲氣十足地說：“我呀，當然是多多益善啰！”劉邦心中又添了三分不高興，勉強說：“將軍如此大才，我很佩服?，F(xiàn)在，我有一個小小的問題向?qū)④娬埥蹋瑧{將軍的大才，答起來一定不費吹灰之力的?！表n信滿不在乎地說：“可以可以?！眲罱器锏匾恍?，傳令叫來一小隊士兵隔墻站隊，劉邦發(fā)令：“每三人站成一排?！标犝竞煤螅￡犻L進來報告：“最后一排只有二人?！薄皠钣謧髁睿骸懊课迦苏境梢慌??！毙￡犻L報告：“最后一排只有三人?！眲钤賯髁睿骸懊科呷苏境梢慌??！毙￡犻L報告：“最后一排只有二人?！眲钷D(zhuǎn)臉問韓信：“敢問將軍，這隊士兵有多少人？”韓信脫口而出：“二十三人。”劉邦大驚，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找個岔子把他殺掉，免生后患?！币幻鎰t佯裝笑臉夸了幾句，并問：“你是怎樣算的？”韓信說：“臣幼得黃石公傳授《孫子算經(jīng)》，這孫子乃鬼谷子的弟子，算經(jīng)中載有此題之算法，口訣是：

三人同行七十稀，

五樹梅花開一枝，

七子團圓正月半，

除百零五便得知?！?/p>

劉邦出的這道題，可用現(xiàn)代語言這樣表述：

“一個正整數(shù)，被3除時余2，被5除時余3，被7除時余2，如果這數(shù)不超過100，求這個數(shù)。”

《孫子算經(jīng)》中給出這類問題的解法：“三三數(shù)之剩二，則置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十；五五數(shù)之剩一，則置二十一；七七數(shù)之剩一，則置十五，一百六以上，以一百五減之，即得?！庇矛F(xiàn)代語言說明這個解法就是：

首先找出能被5與7整除而被3除余1的數(shù)70，被3與7整除而被5除余1的數(shù)21，被3與5整除而被7除余1的數(shù)15。

所求數(shù)被3除余2，則取數(shù)70×2＝140，140是被5與7整除而被3除余2的數(shù)。

所求數(shù)被5除余3，則取數(shù)21×3＝63，63是被3與7整除而被5除余3的數(shù)。

所求數(shù)被7除余2，則取數(shù)15×2=30，30是被3與5整除而被7除余2的數(shù)。

又，140＋63＋30=233，由于63與30都能被3整除，故233與140這兩數(shù)被3除的余數(shù)相同，都是余2，同理233與63這兩數(shù)被5除的余數(shù)相同，都是3，233與30被7除的余數(shù)相同，都是2。所以233是滿足題目要求的一個數(shù)。

而3、5、7的最小公倍數(shù)是105，故233加減105的整數(shù)倍后被3、5、7除的余數(shù)不會變，從而所得的數(shù)都能滿足題目的要求。由于所求僅是一小隊士兵的人數(shù)，這意味著人數(shù)不超過100，所以用233減去105的2倍得23即是所求。

這個算法在我國有許多名稱，如“”，“鬼谷算”，“隔墻算”，“剪管術(shù)”，“神奇妙算”等等，題目與解法都載于我國古代重要的數(shù)學(xué)著作中。一般認為這是三國或晉時的著作，比劉邦生活的年代要晚近五百年，算法口訣詩則載于明朝的，詩中數(shù)字隱含的口訣前面已經(jīng)解釋了。宋朝的數(shù)學(xué)家把這個問題推廣，并把解法稱之為“大衍求一術(shù)”，這個解法傳到西方后，被稱為“孫子定理”或“中國剩余定理”。而韓信，則終于被劉邦的妻子誅殺于未央宮。

請你試一試，用剛才的方法解下面這題：

一個數(shù)在200與400之間，它被3除余2，被7除余3，被8除余5，求該數(shù)。

（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k，取k＝-5得該數(shù)為269。）。