拉普拉斯方程表示為：

?2? = 0

其中，?2是拉普拉斯算子，?是描述電勢、流體動力學(xué)、熱傳導(dǎo)等物理量的標量場函數(shù)。具體地，拉普拉斯算子可以表示為：

?2f = ?2f/?x2 + ?2f/?y2 + ?2f/?z2

這里是三維坐標系中的拉普拉斯算子，f是描述物理量的標量函數(shù)，x、y和z是三個坐標軸。

在柱坐標系和球坐標系中，拉普拉斯算子的表達式有所不同。在柱坐標系中，拉普拉斯算子表示為：

?2f = (1/ρ) ?/?ρ (ρ ?f/?ρ) + (1/ρ2) ?2f/?φ2 + ?2f/?z2

這里f是柱坐標系中的標量函數(shù)，ρ、φ和z是三個坐標軸。

在球坐標系中，拉普拉斯算子表示為：

?2f = (1/r2) ?/?r (r2 ?f/?r) + (1/r2sinθ) ?/?θ (sinθ ?f/?θ) + (1/r2sin2θ) ?2f/?φ2

這里f是球坐標系中的標量函數(shù)，r、θ和φ是三個坐標軸。

拉普拉斯方程和拉普拉斯算子在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。