弦長公式，在這里指直線與圓錐曲線相交所得弦長d的公式。

PS:圓錐曲線， 是數(shù)學(xué)、幾何學(xué)中通過平切圓錐（嚴(yán)格為一個正圓錐面和一個平面完整相切）得到的一些曲線，如：橢圓，雙曲線，拋物線等。

一：

弦長=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

其中k為直線斜率,(x1,y1),(x2,y2)為直線與曲線的兩交點,"││"為絕對值符號,"√"為根號

證明方法如下：

假設(shè)直線為:Y=kx+b

圓的方程為：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

假設(shè)相交弦為AB，點A為（x1.y1)點B為(X2.Y2)

則有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

把y1=kx1+b.

y2=kx2+b分別帶入,

則有：

AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2

=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2

=√1+k^2*│x1-x2│

證明AB=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

的方法也是一樣.

二：

拋物線y2=2px，過焦點直線交拋物

線于A(x1,y1)和B(x2,y2)兩點，則AB弦長：d=p+x1+x2 y2=-2px,過焦點直線交拋物線于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚兩點，則AB弦長：d=p-﹙x1+x2﹚

x2=2py,過焦點直線交拋物線于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚兩點，則AB弦長：d=p+y1+y2

x2=-2py,過焦點直線交拋物線于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚兩點，則AB弦長：d=p-﹙y1+y2﹚

三：

d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]

關(guān)于直線與圓錐曲線相交求弦長，通用方法是將直線y=kx+b代入曲線方程，化為關(guān)于x(或關(guān)于y)的一元二次方程，設(shè)出交點坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理及弦長公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦長，這種整體代換，設(shè)而不求的思想方法對于求直線與曲線相交弦長是十分有效的，然而對于過焦點的圓錐曲線弦長求解利用這種方法相比較而言有點繁瑣，利用圓錐曲線定義及有關(guān)定理導(dǎo)出各種曲線的焦點弦長公式就更為簡捷。

d =√[(1+k^2)△/a^2] =√(1+k^2)√(△)/|a|

在知道圓和直線方程求弦長時，可利用方法二，將直線方程代入圓方程，消去一未知數(shù)，得到一個一元二次方程，其中△為一元二次方程中的 b^2：-4ac ，a為二次項系數(shù)。

補遺：公式2符合橢圓等圓錐曲線 不光是圓。公式/|a|是在整個平方根運算后再進(jìn)行的……（先開平方了然后再除）

2式可以由1推出，很簡單，由韋達(dá)定理，x1+x2=-b/a x1x2=c/a 帶入再通分即可……

在知道圓和直線方程求弦長時也可以用勾股定理（點到直線距離、半徑、半弦）。