韓信點兵的數學解法

我國漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數，第一次按1～3報數，第二次按1～5報數，第三次按1～7報數，每次報數后都要求最后一個人報告他報的數是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為“鬼谷算”、 “隔墻算”、“秦王暗點兵”等。

這種問題在《孫子算經》中也有記載：“今有物不知其數：三三數之余二，五五數之余三，七七數之余二，問物幾何?” 它的意思就是，有一些物品，如果3個3個的數，最后剩2個；如果5個5個的數，最后剩3個；如果7個7個的數，最后剩2個；求這些物品一共有多少？人們通常把這個問題叫作“孫子問題”， 西方數學家把它稱為“中國剩余定理”。現在，這個問題已成為世界數學史上著名的問題。

到了明代，數學家程大位把這個問題的算法編成了四句歌訣：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝；

七子團圓正半月，除百零五便得知。

用現在的話來說就是：一個數用3除，除得的余數乘70；用5除，除得的余數乘21；用7除，除得的余數乘15。最后把這些乘積加起來再減去105的倍數，就知道這個數是多少。

《孫子算經》中這個問題的算法是：

70×2＋21×3＋15×2＝233

233－105－105＝23

所以這些物品最少有23個。

根據上面的算法，韓信點兵時，必須先知道部隊的大約人數，否則他也是無法準確算出人數的。你知道這是怎么回事嗎？

這是因為，

被5、7整除，而被3除余1的最小正整數是70；

被3、7整除，而被5除余1的最小正整數是21；

被3、5整除，而被7除余1的最小正整數是15。

所以，這三個數的和是15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質。

以上解法的道理在于：

被3、5整除，而被7除余1的最小正整數是15；

被3、7整除，而被5除余1的最小正整數是21；

被5、7整除，而被3除余1的最小正整數是70。

因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整數是 15×2＝30；

被3、7整除，而被5除余3的最小正整數是 21×3＝63；

被5、7整除，而被3除余2的最小正整數是 70×2＝140。

于是和數15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質。但所得結果233（30＋63＋140＝233）不一定是滿足上述性質的最小正整數，故從它中減去3、5、7的最小公倍數105的若干倍，直至差小于105為止，即 233－105－105＝23。所以23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整數。