令u＝y(tǒng)/x，則y＝xu，y'＝u＋xu'。方程化為：

u＋xu'＝(u－1)/(4u＋1)。

分離變量，得：(4u＋1)/(1＋4u^2)du＝－dx。

兩邊積分，得：1/2×ln(1＋4u^2)＋1/2×arctan(2u)＝－x＋1/2×C。

即 ln(1＋4u^2)＋arctan(2u)＋2x＝C。

帶入u＝y(tǒng)/x，得原方程的通解：

ln(1＋4y^2/x^2)＋arctan(2y/x)＋2x＝C。

應(yīng)用

"齊次"從詞面上解釋是"次數(shù)相等"的意思。

微分方程

中有兩個(gè)地方用到"齊次"的叫法：

1、形如y'=f(y/x)的方程稱(chēng)為"齊次方程

"，這里是指方程中每一項(xiàng)關(guān)于x、y的次數(shù)都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是二次項(xiàng)，而y/x算0次項(xiàng)，方程y'=1+y/x中每一項(xiàng)都是0次項(xiàng)，所以是"齊次方程"。

2、形如y''+py'+qy=0(其中p和q為關(guān)于x的函數(shù))的方程稱(chēng)為"齊次線(xiàn)性方程"，這里"線(xiàn)性"是指方程中每一項(xiàng)關(guān)于未知函數(shù)y及其導(dǎo)數(shù)y',y'',……的次數(shù)都是相等的(都是一次)，"齊次"是指方程中沒(méi)有自由項(xiàng)(不包含y及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng))，方程y''+py'+qy=x就不是"齊次"的，因?yàn)榉匠逃疫叺捻?xiàng)x不含y及y的導(dǎo)數(shù)，因而就要稱(chēng)為"非齊次線(xiàn)性方程"。

另外在線(xiàn)性代數(shù)

里也有"齊次"的叫法，例如f=ax+bxy+cy^2稱(chēng)為二次齊式，即二次齊次式的意思，因?yàn)閒中每一項(xiàng)都是關(guān)于x、y的二次項(xiàng)。